Hallo Karolinda,
ich kann nicht alle deine Fragen beantworten, aber ich möchte meine Erfahrung mit Hashimoto, Euthyrox 75 und Nesselausschlag einbringen.
Bei mir wurde vor 4 Jahren Hashimoto festgestellt, seitdem nehme ich Euthyrox (angefangen bei 25, mittlerweile bei 100). Ich leide unter chronischem Nesselausschlag, der mal mehr, mal weniger stark auftritt. So viel ich mich erinnern kann, hatte ich den aber schon vor Euthyrox. Wahrscheinlich trifft sich die Hormongabe deiner Tochter und der Ausschlag zeitlich nur zufällig - oder sie ist wirklich auf Euthyrox allergisch und reagiert deshalb so stark.
Mein Schilddrüsenarzt hat mir gesagt, dass Nesselausschlag nicht mit Hashimoto bzw. mit Schilddrüsenfehlfunktionen zusammen hängt ... Ob das jetzt stimmt oder nicht, sei dahin gestellt. Ändern kann man's eh nicht - meistens. Im Falle deiner Tochter könnte es ja wirklich sein, dass sie auf Euthyrox allergisch ist - ihr könnt ja einfach das Medikament wechseln. Wenn's dort noch auftritt, kann man noch immer einen Allergietest machen ... Wobei ich auch einen gemacht habe und da auf absolut jede einzelne getestete Substanz reagiert habe
. Die Schwester dort hat einen leichten Panikanfall bekommen, weil sie sowas noch nie gesehen hat und die Ärzte haben mir dann gesagt, dass ich im Grunde auf nichts allergisch sein kann, weil ich eben nicht auf alles allergisch sein kann 
... Ich denke auch, dass man sich bei akuten Schüben von Nesselausschlag bzw. chronischem Nesselausschlag nicht wirklich mittels Prick-Test testen lassen kann, weil man ja auch auf manuelle Reize (das Einritzen der Haut) stark reagiert. Bei mir ist das zumindest so und bei deiner Tochter scheint es auch so zu sein, nachdem sie auch auf Wind oder Wasser reagiert ... Laut Allergiezentrum muss man halt damit leben und sollte schauen, dass man immer genug Aerius mit sich rum trägt ... 
Lange Rede, kurzer Sinn: Versucht einfach, das Medikament zu wechseln, das ist sicher der am einfachsten umzusetzende Schritt. Wenn der Nesselausschlag dann noch immer da ist, könnt ihr versuchen, ob eine zusätzliche Gabe von Selen und Zink (vorher testen lassen, ob der Selenspiegel zu niedrig ist oder eh passt) etwas bringt. Diese Spurenelemente sollen bei Hashimoto oft Besserung bringen. Wenn's dann noch immer nicht passt, kann man versuchen, Weizenmehl, Kuhmilchprodukte und Zucker wegzulassen - mir z.B. hat das in argen Phasen sehr geholfen (zurzeit bin ich leider wieder zu nachlässig :/) ... Ich habe bei groben Schüben beim Duschen bzw. Baden "Balneum Hermal Plus" verwendet, einen öligen Badezusatz, den man auch als Duschgel verwenden kann und der die Haut gut rückfettet. Ihr werdet ja sehen, was Linderung bringt
...Ich bin kein Arzt und kann daher keine medizinische Fachauskunft erteilen. Meine Logik sagt mir aber, dass der Nesselauschlag wohl dadurch oft zustande kommt, weil das Immunsystem durch den Hashi geschwächt ist und sich zu sehr auf die Schilddrüse konzentriert. Aus diesem Grund haben Allergene leichteres Spiel als bei Leuten mit intaktem Immunsystem ... So stelle ich mir das halt vor ... Deswegen leiden Hashis auch oft unter Nahrungsmittelunverträglichkeiten ...
Ihr müsst da jetzt wohl mal durch und für euch austesten, was eurer Tochter am besten hilft. Ich hoffe jedenfalls, dass es ihr bald wieder besser geht und sie nicht allzu sehr unter dem Ausschlag leiden muss ... Es wird definitiv besser, so viel steht fest - auch wenn er vielleicht regelmäßig auftreten wird ... Aber wer weiß, vielleicht ist es wirklich nur das Euthyrox (was ich für euch hoffe
) ...LG
obs